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学コン12月号感想

学コン5番はなんか怪しげな解答になった。
特に(4)が怪しげ。
まあ締切すぎたからネタバレしてもいいと思うけど、


(3)はf(n+1)-f(n)=n+1なのはまあ直観的には明らかなわけだ。
まず、xが-∞のほうから∞の方へln+1上を動く虫を考える。
ln+1はn個の交点を持つ。
交点において虫は領域の境界線を「踏み越す」。
であるから、n回領域の境界線を踏み越したってことはn+1個の領域を通過した(植木算)ってことなので、
虫が通過した領域はln+1によって2分されることから、n+1個領域は増える∴f(n+1)-f(n)=n+1
でまあどこが問題かと言うと「一度通過した領域に虫が再び入ることがあるかどうか」という点。
まあどうみてもそれはあり得ないのだが。
それを示すための一つの方法としては、すべての領域が凸であることが示せれば一度通過した領域に虫が再び入ることはない。
なぜなら、一度通過した領域に虫が再び入ることがあるとすれば、領域に含まれるある2点を結ぶ線分が領域に含まれなくなってしまうからだ(なぜかは言葉では説明しにくいのだが……一度目に通過したその領域内の点と再び入ったその領域内の点を結ぶ線分は領域の外を通っている)。
で、すべての領域が凸であることを示せればいいわけだが。


直観的には、


すべての内角がπより小さい多角形は凸多角形…(1)
2直線が交わるときになす角はπより小さい…(2)


という事実から明らかなのだが。
まず一つ目の問題として、(1)が本当に成り立つのかということがある。
ていうか多分正しいのだが証明が思いつかない。
二つ目の問題として、領域は多角形のものだけでなく、無限に広がる領域もあるということがある。


というわけでまあよくわからないので、「一度通過した領域に虫が再び入ることがあるかどうか」という点については、適当な図を書いて、とてもジョッキと机と椅子では構成できない説明でごまかした。


(4)はさらに怪しげ。
「右半分、左半分では直線の場合と似たようなことになるでしょ」ということにして、まあ右半分と左半分で共通な領域を数えた。


解答が楽しみ。


4番はただの計算だった。直前で計算ミスに気がついて急いで直したので間違ってる可能性大。
1番は何かうまい方法があるのかもしれないが思いつかないのでひたすらベクトルの計算。
まあ何も思いつかなくてもしこしこ計算すれば答えが出るのがベクトルのありがたいところとも言えるわけでまあいいか。
3番も何かうまい方法がありげな雰囲気がすごい漂っているが、特に思いつかないのでおつりによって8通りに場合分けしてしこしこ調べる。
6番は極限の問題として良問だと思う。
a→∞のときu→∞がなかなか示せなかった。