選択公理と同値な線形代数の命題

齋藤毅『線形代数の世界―抽象数学の入り口 (大学数学の入門)』で、系2.4.7の証明における(1)→(2)の証明において $V'$ の存在をなぜ言える？と思ったが、暗黙に系1.6.8（部分空間は直和因子になる）を使っているのか。
（なお、僕が参照しているのは2007年初版(!)であり、別の版では違う記載ぶりになっているかもしれない）
なお、「全射線形写像f:V→Wがあるとき、Vの部分空間V'で、fのV'への制限がWへの同型になるものがある」…(*)は（ZFにおいて）選択公理と同値になる。
（参考）
linear algebra - Is a vector space isomorphic to the kernel $\oplus$ image of a map out of it? - Mathematics Stack Exchange

上記のstackexchangeでは選択公理と系1.6.8の同値性を経由して(*)から選択公理を導いているが、(*)→選択公理の直接証明は、以下のような感じ（で証明できているはず）。

(*)を仮定する。
$\emptyset\notin F, F$ はdisjointとして、 $F$ の各元との交わりがシングルトンとなるような $C$ の存在（この存在が選択公理のstatement）を示す。
写像 $f:\cup F \rightarrow F$ を $x\in f(x)$ となるように定める。
$\cup F$ の、2元体 $\mathbb{F}_{2}$ の元を係数とする形式的線形結合*1は $\cup F$ を基底とする $\mathbb{F}_{2}-$ 線形空間をなす。これを $V$ とする。同様に、 $F$ を基底とする形式的線形結合のなす線形空間を $W$ とする。
$f$ が誘導する $V$ から $W$ への $\mathbb{F}_{2}-$ 線形写像を $\varphi:V\rightarrow W$ とする。
(*)より $\varphi$ の制限 $\varphi|V':V'\rightarrow W$ で同型となるものがある。
$F\subset W$ と見ることができる。 $\varphi|V'$ の線形空間としての構造を忘却して $F$ の逆像を $C$ とすると所望の性質を持つ。
（練習問題: $\varphi$ のkernelを求めよ。）